线性代数与编程：LU 分解与特征值算法

数值计算本身就是一个独立的研究方向，不要学一点线性代数就谈什么大规模矩阵运算。

计算机进行具体数值计算时，需要注意两点：

数值的精度只有有限位
尽量减少运算量和内存消耗

LU分解：三角分解

给定矩阵 $A$ ，将 $A$ 表示成下三角矩阵 $L$ 和三角角矩阵 $U$ 的乘积，称为 LU 分解（也叫 LR 分解）。也就是说，在下面矩阵中，要快速确定 $\blacksquare$ 位置的数值，

$A=\left( \begin{matrix} \blacksquare & 0 & 0 & 0 & 0\\ \blacksquare & \blacksquare & 0 & 0 & 0 \\ \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & 0 & 0 \\ \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & 0 \\ \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare\\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare\\ 0 & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\ 0 & 0 & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\ 0 & 0 & 0 & \blacksquare & \blacksquare \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \blacksquare \\ \end{matrix} \right)\equiv LU$

进一步说，我们希望 $L$ 的对角线元素都是 1（如果是 U 的对角线也可以），这样需要求解的数量就少了 5 个：

$A=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \blacksquare & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \blacksquare & \blacksquare & 1 & 0 & 0 \\ \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & 1 & 0 \\ \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & 1\\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare\\ 0 & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\ 0 & 0 & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\ 0 & 0 & 0 & \blacksquare & \blacksquare \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \blacksquare \\ \end{matrix} \right)\equiv LU$